Kiirem tee matemaatika ilu juurde
Digivahendite oskuslik kasutamine õpetamisel toob tulu, aga õnneks pole unustusse vajunud ka käeline tegevus.
Mäletan veel oma kooliajast, kuidas saime matemaatilisi mudeleid ekraanilt vaatamise asemel oma käega katsuda. Praegunegi põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava ei ole digivahendite kasutamise soodustamise kõrval unustanud aktiivõppemeetodeid, seejuures käelist tegevust. Üks „võluvahend“ õpilaste matemaatilisel rajal hoidmiseks on origami.
Origami ei ole tundmatu mõiste, pigem vastupidi – tõenäoliselt ei ole võimalik suureks kasvada ilma midagi paberist voltimata. Lennukit, paati, mütsi või veepommi on meisterdanud igaüks, kuid seda pigem varajases nooruses.
Juulis toimus Melbourne’is Swinburne’i Ülikooli korraldamisel 8. rahvusvaheline origamikogukonna kohtumine (8th International Meeting on Origami in Science, Mathematics and Education, 8OSME), kus uuriti origami rakendamist teaduses, kunstis ja hariduses.
Iga konverentsi puhuks avaldatakse uurimistööde kogumik. Seekordne neljaköiteline kogumik pakub uusimaid avastusi ja uuringute tulemusi inseneerias, robootikas, materjaliteaduses, hariduses ja disainis. Konverents tõestas, et iidsest voltimiskunstist on õigusega saanud teaduse ja akadeemilise õppe osa.
Tiina Kraav esines konverentsil ettekandega „Hariduslik origami – matemaatilise voltimise kursuse disain ja läbiviimine“.
On imetabane, et tänapäeval leiab see iidne Jaapanist pärit paberivoltimise kunst (jpn 折り紙, ori ’voltimine’, kami’paber’) rakendust niivõrd paljudes valdkondades: inseneerias, meditsiinis, disainis, arhitektuuris, kunstis, hariduses jne. Väheste voltimisvõtete kombineerimise tulemusena võimaldab see valmistada lõpmatul hulgal erinevaid mudeleid.
Matemaatikatunnis on oluline mõistmine ning voltimine võimaldab teooriaid lihtsal kujul näitlikustada – ja mitte ainult esimeses ja teises kooliastmes. Näiteks gümnasistidele loodud matemaatilise voltimise kursusel väitsin, et voltimise kaudu saab näidata kõike. Üks noormees võttis sõnasabast kinni ja ütles: „Olgu, näita siis paberi abil, kuidas on võimalik, et lõpmatu geomeetrilise jada summa ei olegi lõpmatu.“
Võtsin paberilehe, voltisin selle pooleks, poole sellest veel pooleks, tekkinud pooltest ühe osa veel pooleks ja edasi nii kaua, kuni näpuosavus lubas. Tekkinud ristkülikute pindalad on ilmselgelt hääbuva geomeetrilise jada liikmed kordajaga üks kahendik ja nende summa sellesama paberi pealt välja ei lähe – ristkülikute liitmisel paberit juurde ei teki.
Õpetlik ja motiveeriv
Origami abil matemaatika õpetamine on ühe aktiivõppemeetodina nii maailmas laiemalt kui ka Eestis kasutusel olnud juba kaua aega. Lasteaeda jõudis origami tänu saksa pedagoogile Friedrich Fröbelile juba 19. sajandil. Sealt liikus see hariduspõllul edasi üha laiemalt ja kiiremini. Nüüdseks on origamist saanud õigusega akadeemilise hariduse osa kõigil haridusastmetel.
Tartu Ülikoolist hariduse saanud matemaatikaõpetajad on praeguse emeriitdotsendi Tiit Lepmanni käe all kogenud, kuidas erinevaid matemaatilisi kontseptsioone origami abil illustreerida, kuidas see aitab hüpoteese püstitada ja neid ka tõestada.
Paberi, käte ja aju koostöös ei teki ainult uus ja sügavam matemaatiline teadmine, vaid ka õpimotivatsioon. Väga lihtsasti on võimalik näha origami ideede rakendatavust erisuguste innovaatiliste lahenduste juures, kus iidsed võtted ja tehnoloogia imeliselt koos toimivad.
Meil on võimalik teha origami geomeetria abil teatud protseduure, mida eukleidilise geomeetria aksioomid ei võimalda. Näiteks suvalise nurga jaotamine kolmeks võrdseks osaks ei ole eukleidilises geomeetrias võimalik. Origami geomeetrias tegutsedes saame sellega aga hakkama. Teine näide on etteantud kuubist kaks korda suurema ruumalaga kuubi konstrueerimine, mis on tuntud Deliani probleemina.
Origami haardeulatus ja probleemide n-ö avatus on võluv. Nagu igas valdkonnas, on võimalik alustada kõige elementaarsemast, tutvuda terminite ja grammatikaga. Mõningatel juhtudel sellest piisabki. Madalamates kooliastmetes soovitataksegi jääda lihtsate mudelite juurde, et matemaatika ise kaduma ei läheks.
Tänapäeva teadus ja tehnoloogilised saavutused on arenenud aga juba sellistesse kõrgustesse (osalt just origami kaasabil või tänu sellele), et sajanditevanuste traditsioonide abil on võimalik olla tehnoloogiliselt innovatiivne. See on erutav, kaasahaarav ja hariduses rakendamisel lisamotivatsiooni pakkuv.
Funktsionaalsus ja esteetika
Origami ja sellega seotud geomeetria rakendatavus avaldub muu hulgas funktsionaalsuses. Tänu origamile, mis tänapäeva inseneerias on palju seotud lamevoltimisega, saame ökonoomsemalt liikuda nii kosmoses kui ka inimorganismis.
Jaapani astrofüüsiku Kōryō Miura matemaatiliselt kirjeldatud voltimisvõtteid kasutavad NASA insenerid materjali lamevoltimiseks, et satelliite ökonoomselt kokkupakituna kosmosesse lennutada ja seal neid kergesti avada. Nii Miura kui ka teise Jaapani füüsiku Yoshimaru Yoshimura võtted on tuntud ka meditsiinis, leides kasutust näiteks veresoontekirurgias. Väikesed kokkuvolditavad ja selliselt kehasse viidavad „kirurgid“ on tänapäeva reaalsus.
Teine suund, millel on disaini kaudu funktsionaalsusega palju kokkupuudet, on origami kasutamine esteetilise mõju või naudingu saamiseks. Kunsti ja disaini piiril toimetab näiteks tekstiilikunst: plisseerimistehnikas kasutatakse samuti ära matemaatilisi teadmisi lamevoltimisest või tessellatsioonidest. On origamikunstnikke, kes on hariduselt matemaatikud või insenerid. Nende looming lähtub matemaatikast. Aga väga palju on neid, kellega voltimise tulemusena matemaatika lihtsalt juhtub.
Palju räägitakse matemaatika ilust. Koolimatemaatikas paraku ei õnnestugi kõigil selle ilu nägemiseni jõuda. Ehk on origami kiirem tee matemaatika ilu juurde? Koolis käib ju igapäevane võitlus õpilase tähelepanu eest. Mitmed õpetajad on väitnud, et just origami kasutamisega on väga lihtne õpilane heas mõttes konksu otsa tõmmata.
Voltimine arendab matemaatilist sõnavara, käelist osavust, tasapinnalist, ruumilist ja algoritmilist mõtlemist, see on teadusnähtuste mõistmise ja nende üle arutlemise alus. Voltides on võimalik saada uurija kogemust, kus läbi avastuste, eksimuste ja õnnestumiste jõutakse ülesannete või probleemide lahendusteni.
Selle kõige saavutamiseks on vaja motiveeritud õpilasi. Teadusuuringud on näidanud õpilaste suuremat motivatsiooni matemaatikat õppida, kui tundides on kasutatud voltimist. Hiljuti lõppenud uuringu Mathmot järgi langeb matemaatika õppimisega seotud motivatsioon oluliselt üleminekul 4. klassi, seejärel – küll vähem, aga siiski – üleminekul 5. klassi, ja nii edasi.
Kui meie riiklik õppekava soovitab õppetöös rakendada käelist tegevust, siis näiteks Iisraeli riiklik õppekava lausa sisaldab sellist ainet nagu origameetria. Esimeses ja teises kooliastmes õpitakse selle raames kord nädalas matemaatikat voltimise kaudu. Origameetria õppekavva viimise üheks eestvedajaks on origamidisainer Paul Jackson, kes on olnud origamikonsultant näiteks ettevõtetes Nike ja Siemens, aga andnud voltimisalast nõu ka NASA inseneridele.
Origami kaudu õpitakse olema loov. Matemaatika ja loovus on tihedalt seotud, aga see ei ole iseenesestmõistetav. Et seost välja tuua, on vaja õpetaja oskuslikku tegutsemist. Viimane PISA uuring näitas, et Eesti õpilane oskab rahvusvahelises võrdluses vägagi loovalt mõelda. Ka õpetaja tegevust ei tohiks kuidagi alahinnata. Hirm, et tehisintellekti tulekuga tema roll õpilase arengusse panustamisel väheneda võiks, on alusetu.
Paberist voltimist peetakse sageli lihtsalt mängimiseks. Mäng, mis on seotud origamiga ja ühtlasi geomeetriaga, on aga muutnud elusid.
Tiina Kraav
TÜ matemaatikahariduse lektor
Lisa kommentaar